拓扑学

拓扑学tuò pū xué

◎数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。

拓扑学

• 英文 topology

核心概念

拓扑学（Topology）是数学的一个分支，研究几何形状和空间在连续变形下的性质。它关注的是物体在拉伸、扭曲或压缩时保持不变的性质，而不是它们的具体形状或大小。

1. 连续性：拓扑学中的变形不允许撕裂或粘合，例如将一个圆形变成椭圆是允许的，但将一个圆形剪开后再粘合就不是拓扑允许的操作。

2. 拓扑不变量：在连续变形下保持不变的性质。例如：

   • 连通性：一个图形是否是连通的。
   • 孔的数量：例如，圆环有一个孔，球体没有孔。
   • 基数：一个空间的点集的大小（通常用于描述无穷集合）。

3. 开集和闭集：拓扑学的基本工具是通过开集和闭集来定义空间的结构。

4. 拓扑空间：由一组点和一组满足特定性质的开集构成，拓扑学的许多理论基于此。

拓扑学的分支

1. 点集拓扑学：研究拓扑空间的基本性质，例如紧致性、连通性和极限点。
2. 代数拓扑：使用代数工具（如群、环）研究拓扑空间，例如同调和基本群。
3. 微分拓扑：研究可微分流形上的拓扑性质，结合微积分工具。
4. 几何拓扑：研究较高维度的几何和拓扑，例如三维空间中的结（结理论）。

拓扑学的例子

1. 咖啡杯和甜甜圈：在拓扑学中，咖啡杯和甜甜圈被认为是等价的，因为可以通过连续变形将一个变成另一个（它们都只有一个孔）。
2. 莫比乌斯带：一种只有一个面的曲面。
3. 克莱因瓶：一种无法嵌入三维空间的奇特曲面。

拓扑学的应用

1. 数据分析：拓扑数据分析（TDA）用于发现高维数据中的结构。
2. 物理学：研究相变和拓扑绝缘体。
3. 生物学：分析分子形状和DNA的拓扑结构。
4. 计算机科学：用于网络、机器人路径规划等。

总结来说，拓扑学可以被看作是“弹性几何学”，关注的是形状在弹性变形下的本质属性，而不关心具体的几何细节。